Теория вероятностей и комбинаторика: алгоритмы для решения «новых» задач, которых нет в школе

 В сборнике под редакцией И.В. Ященко на 2025–2026 учебный год почти половина задач №5 заменена на принципиально новые типы, которых в школьной программе попросту нет. Речь идёт о задачах на условную вероятность, диаграммы Эйлера, математическое ожидание и даже неравенство Чебышева. Это означает, что стандартных школьных знаний о формуле классической вероятности и правиле произведения уже недостаточно.

Тем не менее паниковать не стоит. Пройдя качественную подготовку по теории вероятностей и комбинаторике на курсах подготовки к ЕГЭ по математике в Москве, вы сможете уверенно решать не только задания №4 и №5, но и более сложные задачи, которые могут встретиться на экзамене. Любая, даже самая сложная задача по теории вероятностей решается с помощью нескольких чётких алгоритмов. Разберём три подхода, которые позволят справиться с заданиями №4 и №5 и перестать бояться «нешкольных» формулировок.

Правило «И» и правило «ИЛИ»

Главная причина ошибок в задачах на вероятности — путаница между союзом «И» и союзом «ИЛИ». Это два базовых правила, которые лежат в основе всех остальных вычислений.

Правило умножения («И») применяется, когда нужно найти вероятность одновременного наступления двух или более независимых событий. Вероятность их произведения равна произведению вероятностей каждого из событий. Например, если два автомата независимо друг от друга могут быть неисправны с вероятностью 0,05 каждый, то вероятность того, что оба автомата неисправны одновременно, равна 0,05 × 0,05 = 0,0025.

Правило сложения («ИЛИ») используется, когда нужно найти вероятность наступления хотя бы одного из нескольких несовместных событий. Вероятность суммы таких событий равна сумме их вероятностей. Например, если вопрос на экзамене по механике может встретиться с вероятностью 0,25, а по электричеству — с вероятностью 0,3, и вопросов, относящихся к обеим темам, нет, то вероятность получить вопрос по одной из этих двух тем равна 0,25 + 0,3 = 0,55.

При этом важно помнить: если события совместны (могут произойти одновременно), то формула сложения усложняется — из суммы вероятностей нужно вычесть вероятность их произведения.

Дерево возможных исходов

Когда в задаче появляются «стрелки», «два выстрела», «до первого попадания» или «хотя бы один из двух», многие ученики теряются и не знают, с чего начать. В таких случаях наиболее эффективным инструментом становится дерево возможных исходов. Это графический способ представления всех возможных последовательностей событий, который позволяет визуализировать даже самые запутанные условия.

Классический пример — задача про стрелка, который стреляет по мишени один раз, а в случае промаха делает второй выстрел. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Требуется найти вероятность поражения мишени. Дерево исходов здесь выглядит так: первый выстрел — либо попадание (вероятность 0,7), либо промах (вероятность 0,3). Во втором случае идём по ветке промаха и рассматриваем второй выстрел с той же вероятностью попадания 0,7. Искомая вероятность складывается из двух несовместных исходов: «попал с первого выстрела» (0,7) или «промахнулся первый раз И попал со второго» (0,3 × 0,7 = 0,21). Суммарная вероятность равна 0,7 + 0,21 = 0,91.

Дерево возможных исходов особенно полезно в задачах, где вероятности на разных ветках различаются. Например, в задаче про студентку Машу: если утром светит солнце (вероятность 0,25), она идёт на лекцию с вероятностью 0,7; если пасмурно (вероятность 0,75) — с вероятностью 0,2. Дерево позволяет наглядно увидеть все четыре исхода и вычислить итоговую вероятность присутствия на лекции по формуле полной вероятности.

Таблица исходов для игральных костей

Задачи с игральными костями — отдельная «боль» для многих школьников. Когда бросают две кости, общее число исходов равно 36. Однако перебор всех вариантов вручную занимает много времени и чреват ошибками. На помощь приходит таблица исходов, которая систематизирует все возможные комбинации.

Рассмотрим типовую задачу: в случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8. Общее число исходов — 36 (6 × 6). Благоприятствующие исходы: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2) — всего 5 вариантов. Вероятность равна 5/36 ≈ 0,14.

Более сложный вариант: при бросании двух игральных костей в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность, что хотя бы раз выпало два очка? Здесь условие уже содержит дополнительную информацию, которая меняет пространство исходов. Из 36 возможных комбинаций сумма 6 даёт только 5 исходов: (1;5), (2;4), (3;3), (4;2), (5;1). Из них хотя бы одна двойка встречается в двух случаях: (2;4) и (4;2). Искомая вероятность равна 2/5 = 0,4. Обратите внимание: это уже условная вероятность, которая требует более внимательного подхода.

Задачи нового типа: что изменилось в ЕГЭ-2026

В обновлённом сборнике Ященко появились задачи, которые раньше не встречались в школьных учебниках. Среди них — задачи на математическое ожидание и дисперсию, неравенство Чебышева, а также задачи с так называемым «действием до результата», где требуется найти вероятность наступления события при последовательных попытках. Например, задача о стрелке, которому нужно выдать минимальное количество патронов, чтобы вероятность поражения цели была не менее 0,6. Здесь вероятность промаха при каждом выстреле равна 0,8, и нужно найти такое n, при котором вероятность хотя бы одного попадания (1 − 0,8ⁿ) ≥ 0,6. Решение приводит к n = 5.

Важно понимать, что все эти новые задачи решаются с использованием тех же базовых правил, что и классические. Изменилась лишь формулировка и контекст. Умение строить дерево исходов и правильно применять правила «И» и «ИЛИ» остаётся важнейшим навыком.

Для системной подготовки к заданиям по теории вероятностей рекомендуется не просто решать отдельные задачи, а осваивать целые тематические блоки: классическая вероятность, условная вероятность, формула Бернулли, математическое ожидание. Именно такой подход позволяет сформировать устойчивый навык и перестать паниковать при встрече с нестандартной формулировкой.